数学专业几何学？
我今年刚结束Geometry topology，的老师是Berkeley最厉害的拓扑学教授之一（当然也是著名的难搞教授之一）....虽然之前修了拓扑学的课，但是跟这个教授上Geometry的时候还是有点抓不住课堂内容的感觉。不过这节课主要的内容其实还是比较基础的。
我们这门课的主要内容是研究流形的基本性质以及如何由一些简单的结构定义更为复杂的结构。流形的概念是拓扑学中最核心的概念之一，它的定义方式有很多种，最简单的一种定义方式是假设我们生活在某个光滑的流形M，然后研究M的边界，也就是极限点集\partial M，如果极限点集\partial M是紧致的并且不含无穷多个点，那么我们把M叫做可数稠密流形(countable dense manifold)。
当然，这种定义方式太模糊了，不能通过它来研究更复杂的流形。因此我们需要一种更精确的定义。对于任意一个流形M，我们都能够选取M中一小块儿一块儿的点集合和一个连续的映射 \phi： \mathbb{R}^n \to M 使得对于任意x_0\in \mathbb{R}^n 和任意的 u=(u_1，...，u_n)\in \mathbb{R}^n，\ \phi^*(x_0+uu^\top )=\phi ^*(x_0)+v_1 v_2... v_n v_{n+1}...
其中每一个 v_i 是 \mathbb{R}^n 中的向量而每一个 w_j 是 M 中的点。我们把这样的一个映射 \phi 叫做流形 M 的坐标卡(coordinatization)。如果我们能找到一个坐标卡，那么我们就可以像代数里做一样研究它的结构。
但是由于流形结构的复杂性和不可微分性，找一个合适的坐标卡是一个很难的问题。我们这门课主要的内容就是研究几种特殊情况下可以找到合适的坐标卡的定理，当遇到某种情况时如何寻找合适的坐标卡和具体的过程。
这些具体的结构有切空间、法线空间和正交曲线。这些结构之间有着紧密的联系，所以我们除了研究它们本身的性质以外还会研究他们之间的相互联系。最后我们会利用这些结构来解决一个拓扑学里最经典的问题——四边形的面积问题。 这个问题的答案是：如果一个四边形具有两条边的长度和小于\sqrt{2}\sqrt{a^2-b^2} 而另外两条边的长度大于\sqrt{2}\sqrt{a^-b^2}则它的面积大于 \frac{\sqrt{2}}{2}(a^2+b^2)。证明这个问题需要很多不同的技巧。