博士是要申请吗？
需要明确一点，中国是没有博士学位申请的，只有博士学位的授予！也就是说你需要先参加考试或者考试+答辩（申博）来获得攻读博士学位的资格，在通过学校的考核之后才能入学攻读博士学位，最后通过论文答辩后才能最终获得博士学位。 而对于国外一些学校是可以直接申请博士学位的，但是国内一般不承认这种没有参加国家统一的入学考试的学历，这种一般都是校际交流或者中外合作办学的，而且在国内认可度不高，所以建议还是通过考试+答辩的方式来申请博士学位。
其次，关于你提到的考试难度问题取决于你所选择的专业以及选择的学校。以我个人的经历来说，考中科院的难度大于考C9联盟学校的难度，当然考C9联盟学校又大于考其他双非院校（这里说的都是考研难度而不是教学质量，请分清）。如果你选择出国读博的话，那么建议你考个好一点的院校，因为现在国外好多顶尖名校对中国学校还是比较歧视的，哪怕你是清华北大中大的。